La Teoria della Relatività e le onde gravitazionali – Parte II

da | Dic 2, 2016 | Scienza

Questo articolo è stato pubblicato originariamente nel N. 28 di Giugno 2016 di Tracce d’Eternità, organo ufficiale aperiodico di Aspis

ALBERT EINSTEIN: LA TEORIA DELLA RELATIVITA’ RISTRETTA E GENERALE

Nel 1905 il giovane fisico Albert Einstein (1879 – 1955) pubblicò sulle riviste specialistiche un importante articolo dal titolo “Elettrodinamica dei corpi in movimento” in cui riuscì a coniugare la relatività galileiana con le equazioni dell’elettromagnetismo. Tale lavoro rappresentò una pietra miliare nello sviluppo della fisica moderna poiché determinò l’elaborazione della teoria della relatività ristretta (o speciale) che, insieme alla teoria della relatività generale, rimase legata per sempre alla figura di Einstein.

La meccanica classica newtoniana e galileiana si fondava essenzialmente, come detto precedentemente, sul concetto di spazio e tempo assoluti, cioè tali da avere proprietà costanti e determinate indipendentemente dal sistema di riferimento inerziale e in modo tale che i risultati ottenuti non variassero qualunque fosse il sistema di riferimento; così pure due eventi simultanei in un sistema di riferimento devono esserlo anche per un osservatore posto in un altro sistema. Nella meccanica galileiana inoltre le evidenze sperimentali che erano state ottenute nei decenni di studi (con l’impossibilità di disporre di strumenti adeguati per misurarla) facevano supporre che la velocità della luce fosse infinita, per cui la sua propagazione fosse istantanea in tutto l’universo (e la luce fosse trascinata dall’Etere).

Lo sviluppo successivo della teoria dell’elettromagnetismo di Maxwell entrò in contrasto con la teoria della relatività galileiana poiché nelle equazioni dell’elettromagnetismo la velocità della luce non è infinita (istantanea) ma bensì finita secondo l’espressione

c = 1 / √ε0μ0

dove ε0 indica la permittività elettrica e  μ0 indica la permeabilità magnetica del vuoto. I risultati ottenuti con la teoria elettromagnetica di Maxwell erano quindi in contrasto con la teoria galileiana poiché secondo la meccanica classica la velocità misurata da un osservatore in moto deve rispettare la legge di trasformazione delle velocità di Galileo. Infatti secondo la relatività galileiana un osservatore fermo rispetto al mezzo in cui si propaga un’onda elettromagnetica non può misurare la stessa velocità che misura un osservatore in moto rispetto allo stesso mezzo (esempio della barca fig. 1), per cui secondo le leggi galileiane in rapporto all’elettromagnetismo due osservatori avrebbero dovuto usare due equazioni diverse per esprimere gli stessi fenomeni elettromagnetici.

Nel suo articolo del 1905, quindi, Einstein elaborò la nuova teoria della relatività ristretta (o speciale) nell’intento di aprire una nuova strada alla fisica teorica coniugando le nuove leggi dell’elettromagnetismo con la fisica classica galileiana e newtoniana. Einstein fondò la sua nuova teoria su due postulati desunti dalle evidenze sperimentali conseguite fino a quel momento:

– PRIMO POSTULATO (PRINCIPIO DI RELATIVITA’ PARTICOLARE):

secondo questo postulato tutte le leggi della fisica sono le stesse (quindi invarianti) in qualunque sistema di riferimento inerziale

– SECONDO POSTULATO (INVARIANZA DELLA VELOCITA’ DELLA LUCE):

secondo questo postulato la velocità della luce, nel vuoto, è costante in tutti i sistemi di riferimento inerziali indipendentemente dalla velocità dell’osservatore o della sorgente di luce

L’introduzione da parte di Einstein dei due nuovi postulati ebbe come conseguenza una modifica del concetto di spazio e tempo assoluti (considerati quindi come entità distinte) e l’introduzione del concetto di spazio-tempo in cui le due variabili sono legate indissolubilmente. La teoria della relatività di Einstein divenne così una estensione della meccanica classica, che rientra come caso particolare all’interno della teoria della relatività (per velocità di molto inferiori a quella della luce); l’introduzione della teoria relativistica ebbe effetti importanti anche sul concetto di simultaneità di eventi osservabili.

Ipotizziamo, per esempio, che vi sia un osservatore X che si trova fermo (sistema di riferimento inerziale) in un luogo equidistante da due fonti di luce A e B (es. due lampadine), dal momento della loro accensione la luce raggiungerebbe nello stesso istante l’osservatore X che concluderebbe che l’evento “accensione” delle lampadine sia stato simultaneo.

Tuttavia nel campo della relatività ristretta se ipotizziamo che vi sia un altro osservatore Y, in moto relativo rispetto a X, A e B, ad una velocità che si approssima a quella della luce (o sufficientemente elevata da far considerare attendibili gli effetti relativistici) l’osservatore Y dovrebbe concludere che l’accensione di A precede quella di B mentre se il suo moto fosse in direzione opposta B precederebbe A. Gli effetti paradossali descritti dalla teoria nell’esempio precedente derivano proprio dal superamento del concetto di spazio e tempo assoluti a favore dello spazio-tempo relativistico in cui la simultaneità di due eventi è legata al moto dell’osservatore rispetto agli eventi stessi. Per elaborare la sua teoria Einstein dovette ricorrere alle trasformazioni di Lorentz, che permettono di passare da un sistema di riferimento ad un altro in moto relativo; dall’analisi di Einstein, si ricava che dato

vx ≠ 0

vy = 0

vz = 0

dove v indica la velocità, x, y e z indicano le coordinate spaziali allora risulta che

fig-3-onde

dove x’, y’ e z’ indicano le coordinate trasformate e t il tempo;

– gli effetti delle trasformazioni sono definiti dal termine β definito come β2 = v2/c2 dove v indica la velocità di un corpo e c la velocità della luce. Il termine β diventa trascurabile per velocità v non comparabili con quella della luce (cioè per v tendenzialmente ridotto) dato che se v ≅ 0 allora risulta

β2 = 0/c2 ≅ 0

– viene introdotto il fattore di Lorentz pari a γ = 1 / √1 – β2 dove β = v/c per cui risulta che

per velocità ridotte e tendente a c, calcolando il limite si ottiene

fig-4-onde

– per velocità ridotte le trasformazioni di Lorentz si riducono a quelle galileiane

– l’introduzione del concetto di relatività da parte di Einstein comportò una modifica importante del concetto di spazio e di tempo che si può esprimere con le seguenti espressioni

CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE

La lunghezza, che indichiamo con L, di un corpo in moto non è invariante ma subisce una contrazione nella direzione del moto pari a

L = γ-1 · L0  dato che γ = 1 / √1 – β2 allora si ottiene che

L = (1 / √1 – β2)-1 · L0  da cui si ricava

L = 1/ (1 / √1 – β2)1 · L0  cioè

L = [1/1 · (√1 – β2)/1] · L0  che diventa

L= (√1 – β2) · L0

dove L indica la lunghezza del corpo in movimento, L0 indica la lunghezza massima del corpo, per cui la lunghezza del corpo in moto è pari al prodotto della lunghezza massima (misurata in stato di quiete, definita lunghezza propria) per il reciproco del fattore di Lorentz.

DILATAZIONE DEL TEMPO

L’intervallo di tempo Δt tra due eventi non è invariante ma subisce una dilatazione se misurato da un orologio in moto rispetto agli eventi stessi. La dilatazione del tempo è data dalla formula

Δt = γ Δt0

dove

Δt indica l’intervallo di tempo (la variazione tra un tempo e l’altro)

Δt0 indica l’intervallo di tempo misurato con un orologio “solidale” con gli eventi, tale intervallo è chiamato tempo proprio

γ = 1 / √1 – β2 è il fattore di Lorentz con β = v/c (velocità del corpo/velocità della luce)

dato che γ = 1 / √1 – β2 la formula diventa

Δt = (1 / √1 – β2) ·Δt0 da cui si ricava

Δt = Δt0 / √1 – β2

Risolvendo rispetto a γ si ottiene che

Δt = γ Δt0 da cui

γ = Δt / Δt0

ma dato che risulta

L = γ-1 L0 allora questa diventa

L = (1/γ) · L0  da cui si ottiene

L = L0 / γ da cui moltiplicando per γ ambo i membri

γL = (L0 / γ) · γ quindi diventa

γL = L0 da cui si ottiene

γL/L = L0/L da cui si ricava

γ = L0 / L

ma poiché γ = Δt / Δt0 allora si ottiene

Δt / Δt0 = L0 / L

L’espressione finale ottenuta indica che il rapporto tra l’intervallo temporale tra i due eventi e il tempo proprio è pari al rapporto tra la lunghezza massima (lunghezza propria) del corpo (misurata in quiete) e la lunghezza del corpo.

La relazione Δt / Δt0 = L0 / L esprime che

– quando lo spazio si contrae (cioè si riduce), il tempo si dilata e viceversa quando il tempo si contrae lo spazio si dilata

– per velocità v del corpo che tendono a valori sempre maggiori (verso c, la velocità della luce) la contrazione dello spazio riduce la lunghezza dei corpi mentre la dilatazione del tempo tende all’infinito

– il limite massimo di velocità raggiungibile è pari alla velocità c della luce. Da ciò si deduce che nessun corpo con massa può raggiungere velocità uguali o superiori a quella della luce (le trasformazioni di Lorentz non sono definite per v≥c perché i valori sotto radice diventerebbero nulli o negativi)

– le formule precedentemente esposte comportano l’uguaglianza per velocità v piccole rispetto a c, per cui per piccoli valori di β = v/c gli effetti relativistici non sono misurabili in accordo con l’osservazione sperimentale classica

– la dilatazione – contrazione del tempo e dello spazio non è assoluta ma relativa all’osservazione effettuata da un soggetto posto in moto relativo rispetto al sistema di riferimento. Anche se un essere umano, per esempio, fosse accelerato alla velocità prossima a quella della luce non sperimenterebbe la contrazione spaziale perché il suo sistema di riferimento e misurazione sarebbe coinvolto nella contrazione

– le trasformazioni di Lorentz impiegate da Einstein per la formalizzazione del modello relativistico considerano le tre coordinate spaziali a cui si aggiunge il tempo, come una quarta coordinata, per cui ogni evento nell’Universo viene rappresentato in quattro dimensioni (Spaziotempo di Minkowsky) di cui tre sono le coordinate spaziali e la quarta è quella temporale

fig-5-onde

L’EQUAZIONE DELL’ENERGIA NELLA RELATIVITÀ RISTRETTA

Lo studio della meccanica classica newtoniana permette di descrivere l’equazione dell’energia cinetica con l’espressione

Ec = 1/2mv2

dove l’energia cinetica viene descritta come il semiprodotto della massa per il quadrato della sua velocità. Nella meccanica classica quindi l’energia cinetica di un corpo di massa m è data dal lavoro necessario per portare il corpo da una velocità iniziale nulla ad una velocità finale (determinata) v; per cui otteniamo l’espressione

W = ΔEc = 1/2m · (vf2 – vi2)

Nella meccanica relativistica su cui lavorò Einstein (con v che si approssima alla velocità c della luce) la massa si mantiene costante ma il lavoro che è indispensabile per portare un corpo da uno stato di quiete iniziale ad una velocità v prossima a quella c della luce è dato dall’espressione

W = ΔEc = γmc2 – mc2 = (γ – 1)mc2

Dove γ esprime il fattore di Lorentz dato dall’espressione

γ = 1 / √1 – (v2/c2)

nella meccanica relativistica quindi il lavoro necessario per portare un corpo da uno stato di quiete ad una velocità che tende a c (velocità della luce) non dipende dal quadrato della velocità ma tende a divergere per v che tende a c mentre si dimostra che espandendo l’espressione con la serie di Taylor si ottiene l’espressione

W = 1/2mv2

cioè l’espressione iniziale secondo cui l’energia cinetica è il semiprodotto della massa per il quadrato della velocità; da ciò si deduce che la relatività di Einstein generalizza la formula dell’energia cinetica per velocità v elevate che tendenzialmente si approssimano a c (velocità della luce). Definendo l’energia quindi come l’espressione

E = γmc2

dove γ = 1 / √1 – (v2/c2)

per cui si ricava che per velocità v che tendono a zero risulta

E = 1 / √1 – (v2/c2)mc2

E = 1 / (√1 – 0)mc2

E = (1 / 1)mc2 quindi si ottiene

E = mc2

che è l’equazione più nota della teoria della relatività di Einstein. Espandendo in serie di Taylor tale espressione si ottiene

E = γmc2 = 1 / √1 – (v2/c2)mc2

E = (1 + 1/2v2/c2 + 3/8v4/c4 +…..)mc2

E = mc2 + 1/2 v2/c2 · mc2 + …..da cui

E = mc2 + 1/2mv2 +…..

In tal modo l’energia (calcolo approssimato al secondo ordine essendo i valori successivi trascurabili) è data da una componente costante mc2 a cui si aggiunge l’energia cinetica come espressa nel termine 1/2mv2 indicato precedentemente (generalizzazione della meccanica newtoniana). La nota equazione relativistica di Einstein E = mc2 permise di capire che la massa può essere trasformata in energia e viceversa, cioè che massa ed energia sono equivalenti.

Nella formula

E = mc2

E è l’energia cinetica, espressa in joule (valori espressi in Nm o kg m2/s2)

m è la massa espressa in kg

c è la velocità della luce pari a 299.792,458 km/s per cui c2 è pari approssimativamente a 9·1016 m2/s

LA TEORIA DELLA RELATIVITA’ GENERALE

L’introduzione della relatività speciale da parte di Einstein nel 1905 comportò una prima rivoluzione del pensiero scientifico (a cui si accompagnò quella della meccanica quantistica) e del concetto di spazio e tempo ma entrò in contraddizione con la legge di gravitazione universale introdotta da Newton nel 1687, poiché la legge di gravitazione non è invariante per le trasformazioni di Lorentz, per cui la legge di Newton non rispetta la teoria della relatività ristretta. Per risolvere questo importante problema Einstein introdusse nel 1908 il Principio di Equivalenza che diede un importante contributo agli sviluppi successivi della teoria della relatività generale.

Secondo il Principio di Equivalenza risulta che

mi = mg

– mi indica la massa inerziale di un corpo, dove la massa inerziale esprime quanto un corpo si opponga ad una forza

– mg indica la massa gravitazionale di un corpo, dove la massa gravitazionale esprime la capacità di un corpo-oggetto di attrarne un altro (di massa M)

Poiché secondo gli studi di Newton l’espressione della Forza è data da

F = ma dove m = mi cioè

F = mi a

mentre per la legge di gravitazione universale di Newton risulta che

F = G  mgM/r2

dove la forza di attrazione gravitazionale tra due corpi è pari al prodotto della costante gravitazionale G per la massa gravitazionale e la massa del corpo rapportato al quadrato della distanza tra i due corpi (cioè tale forza è proporzionale alla massa dei corpi e inversamente proporzionale al quadrato della distanza)

Dato che

a = F/mi allora sostituendo a F la sua espressione e sapendo che mi = mg

a = G  mi M/r2mi da cui si ricava

a = GM/r2

per cui l’accelerazione di un corpo dipende da G, M e r che sono valori che non dipendono dalle proprietà del corpo in caduta.

Negli anni successivi, tra il 1908 e il 1914 Einstein proseguì il suo lavoro fino a giungere nel 1915 alla pubblicazione della Teoria della Relatività generale, che fu presentata presso l’Accademia Prussiana delle Scienze, allo scopo di integrare la Teoria della Relatività speciale e di coniugare la Teoria della Gravitazione universale con la Relatività. La Teoria della Relatività generale si fonda sui seguenti principi fondamentali:

– la forza di attrazione gravitazionale (intesa come interazione) tra corpi non può essere definita come azione a distanza tra i corpi ma può essere definita come una conseguenza della legge fisica che lega la geometria e la curvatura dello spazio-tempo con l’energia, la massa e la velocità. Da ciò si deduce che l’accelerazione non si può distinguere dagli effetti di un campo gravitazionale (esperimento mentale dell’uomo nella stanza chiusa)

– lo spazio-tempo assoluto Newtoniano viene “sostituito” con lo spaziotempo di Minkowsky che può essere definito come un R4 (spazio vettoriale) in cui vi sono quattro coordinate (tre spaziali x,y,z, e una temporale t) in modo che ogni punto individui un preciso evento spaziotemporale. Lo spaziotempo di Minkowsky è quindi un modello matematico che presenta un prodotto scalare lorentziano (con segnatura indicata anche con R1,3) e nella Relatività generale rappresenta una approssimazione locale dello spazio-tempo che è in realtà distorto dalla massa

– il principio matematico-geometrico su cui si fonda la struttura dello spaziotempo relativistico (di Minkowsky) trae origine dal concetto di Varietà Riemanniana, cioè una varietà differenziabile dotata di un tensore metrico definito positivo. Il tensore metrico (g) è un campo tensoriale che caratterizza la struttura geometrica di una varietà e grazie ad esso è possibile definire i concetti già conosciuti nello spazio euclideo (angolo, distanza, lunghezza di una curva, geodetica, curvatura). In particolare nella Relatività generale lo spazio attorno ad un punto dello spaziotempo non è indipendente dallo stesso ma è determinato dalla massa presente nel punto; cioè la massa genera curvatura dello spazio che è quantificabile con alcuni modelli matematici (Tensore di Ricci o di Riemann)

– lo spaziotempo e la sua curvatura sono descritti tramite equazioni; un punto in movimento nello spazio segue una linea (apparente) che fornisce la sua posizione in ogni istante. Se la superficie dello spazio è piatta (cioè non contiene massa) allora ogni punto si muove lungo una linea retta (linea di universo), se invece la superficie dello spazio è curva (cioè contiene massa) allora la linea di universo si comporta come le geometrie non euclidee (geometria ellittica, iperbolica)

– nella Relatività generale la curvatura si riferisce a tutto lo spaziotempo, per cui non è “distorto” solo lo spazio ma anche la variabile temporale

Per realizzare l’elaborazione matematico – geometrica della sua teoria Einstein fece uso di modelli matematici legati al calcolo tensoriale e alle geometrie non euclidee a cui diedero, nel corso dei secoli e decenni precedenti, grande impulso matematici dello spessore di Nikolaj Ivanovic Lobacevskij, Janos Bolyai, Gregorio Ricci Curbastro, Bernhard Riemann, Carl Friedrich Gauss, Attilio Palatini, Tullio Levi – Civita, Eugenio Beltrami ed altri.

fig-6-onde

EQUAZIONE DI CAMPO NELLA RELATIVITA’ GENERALE

Come detto precedentemente, quindi, l’idea su cui si fonda la Teoria della Relatività Generale è che la struttura dello Spaziotempo sia determinata dalla distribuzione di massa – energia dell’Universo. In termini prettamente matematici la Relatività generale descrive lo Spaziotempo come uno spazio riemanniano quadrimensionale la cui equazione di campo è data dalla seguente espressione

Rμν – 1/2 gμνR + Λ gμν = 8πG/c4 Tμν

dove

Rμν indica il tensore di curvatura di Ricci

R è la curvatura scalare

gμν è il tensore metrico

Λ (lambda) è la costante cosmologica introdotta da Einstein

Tμν è il tensore energia impulso

c è la velocità della luce

G è la costante di gravitazione universale

Alternativamente, nella formulazione semplificata, si può ricavare l’equazione di Einstein dall’espressione

01

in cui posto c = 1 tale per cui Gμν soddisfa l’equazione newtoniana la precedente espressione diventa

02

(dove il simbolo tre linee parallele indica la congruenza geometrica). Poiché risulta che

03

con opportuni passaggi si ottiene l’espressione

04

Le condizioni qui indicate furono poi compatibili anche con l’aggiunta, da parte di Einstein, di un termine costante nella definizione del tensore metrico gμν ottenendo l’equazione

05

In questa importante equazione il tensore di Ricci e la curvatura scalare misurano la curvatura dello spaziotempo mentre è importante ricordare che la costante cosmologica lambda (Λ) venne introdotta da Einstein per garantire l’ipotesi secondo cui l’Universo fosse statico; cioè nell’epoca in cui fu elaborata la teoria si accettava l’idea che l’Universo fosse statico, per cui occorreva una costante cosmologica che garantisse una sorta di equilibrio nella sua struttura.

Le osservazioni successivamente formulate da Hubble dimostrarono che l’Universo è in espansione, per cui la costante cosmologica venne abbandonata, per poi essere ripresa in epoca più recente. Ovviamente le soluzioni dell’equazione di campo dipendono dal sistema di riferimento e possono essere locali o globali; nel caso di soluzioni locali viene considerata una metrica dello spaziotempo euclidea (Universo piatto) e dipendono dai parametri momento angolare, massa e carica elettrica. Nel caso in cui la carica elettrica non sia nulla occorre risolvere anche le equazioni di Maxwell del campo elettromagnetico. Se non si considera la costante cosmologica lambda (Λ) e impiegando unità di misura per cui c=1 si ottiene l’equazione

(R’/R)2 + k/R2 = (8πG/3)ρ

dove

R esprime il fattore di scala dell’Universo (se l’Universo è finito ne esprime il raggio)

R’ esprime la sua velocità di variazione

ρ (lettera rho) indica la densità media dell’Universo

k esprime la curvatura dell’Universo (che può essere positiva, negativa o nulla)

G indica la costante di gravitazione universale

nell’ipotesi in cui la curvatura sia nulla, cioè se risulta k = 0, si ottiene la densità critica dell’Universo dalla soluzione dell’equazione posto k = 0

R’2/R2 + 0 / R2 = (8πG/3)ρ

R’2/R2 + 0 = (8πG/3)ρ

R’2/R2 = (8πG/3)ρ moltiplicando ambo i membri per R2

R2 (R’2/R2) = [(8πG/3)ρ] R2

R’2 = (8πGR2/3)ρ da cui per ottenere ρ occorre dividere per il termine noto per cui si ottiene

R’2 / (8πGR2/3) = (8πGR2/3)ρ / (8πGR2/3)

ρ = R’2/1 ·3/ 8πGR2 da cui si ricava

ρ = 3R’2 / 8πGR2

la densità dell’Universo è qui calcolata nell’ipotesi semplificata secondo cui la curvatura dell’Universo sia nulla, cioè tale per cui k = 0 ma inizialmente le condizioni operative introdotte dai fisici hanno escluso questa ipotesi mentre, solo a partire dalla fine degli anni 90, le osservazioni effettuate con i satelliti hanno permesso di considerarla come un’ipotesi valida.

CONSEGUENZE APPLICATIVE DELLA TEORIA DELLA RELATIVITA’ GENERALE

L’applicazione immediata della Teoria della Relatività generale di Einstein fu realizzata nel 1916 dal fisico Karl Schwarzschild che ottenne la soluzione dell’equazione di Einstein per il caso di corpi massivi (di massa M) che mantengono la simmetria sferica come nel caso dello spazio attorno ad un pianeta o stella statica. In queste condizioni gli elementi della metrica di Schwarzschild non dipendono da t e si ottiene come risultato l’espressione

06

dove il parametro M indica la massa all’interno del raggio r

Analizzando l’equazione di campo di Einstein e la metrica di Schwarzschild si ottengono due particolari singolarità che sono date dai seguenti casi:

PRIMO CASO – BUCHI NERI

Se consideriamo un corpo di massa m con velocità radiale v, la condizione per cui il corpo riesca ad allontanarsi dal campo gravitazionale, partendo dalla distanza r dal centro, è che la sua velocità sia superiore alla velocità cosiddetta di fuga espressa da

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da cui si ottiene che

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Nel caso relativistico si ha che v = c per cui v2 = c2 per cui l’espressione diventa

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da cui si ottiene che

10

Ma posto G = c = 1 (Unità di Planck) l’espressione precedente diventa

r ≥ 2M

considerando il caso di uguaglianza questa singolarità è espressa, nella metrica di Schwarzschild, anche nel seguente modo

1 – 2M/r = 0

da cui si ricava che

– 2M/r = – 1 cioè

2M/r = 1 quindi moltiplicando ambo i membri per r

(2M/r) ·r = 1·r  da cui si ricava

r = 2M che, considerando il caso di uguaglianza, corrisponde alla precedente

10

avendo posto G = c = 1 (dato che r ≥ 2 · 1 ·M/1)

L’espressione così ottenuta (r = 2M) è il Raggio di Schwarzschild, cioè la distanza dal centro della stella a cui si forma l’orizzonte degli eventi, cioè la superficie limite oltre la quale nessun evento può influenzare un osservatore esterno e quindi l’evento può essere osservato. Se consideriamo una situazione di questo tipo possiamo ipotizzare cosa può accadere quando la sorgente del campo gravitazionale è un corpo così denso che la sua superficie è all’interno della sfera di raggio 2M. Per ottenere una spiegazione del comportamento dello spaziotempo in queste condizioni impieghiamo la metrica di Eddington – Finkelstein che permette di riscrivere la metrica di Schwarzschild nel seguente modo

11

in cui le geodetiche radiali di tipo luce vengono rappresentate da rette inclinate di 45° nel diagramma dello spaziotempo. Considerando per semplicità una geodetica radiale per cui risulta che dθ = dΦ= 0 l’espressione precedente annulla i termini che contengono i precedenti e si riduce a

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Per una particella massiva che si muove lungo la geodetica deve risultare ds2>0 mentre per i punti che si muovono all’interno dell’orizzonte degli eventi risulta che dv2<0. Ma poiché si considera il moto dal “passato” verso il “futuro” deve risultare dv>0 (poiché v è stato definito come v≡t+r* cioè congruente al tempo iniziale più la variazione); cioè per rendere negativo 2 dv dr occorre che risulti

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Da ciò si deduce che la distanza della particella dal centro della singolarità centrale, col passare del tempo, può solo diminuire e quindi la particella si scontra con la massa centrale senza possibilità di allontanarsi. Quanto detto vale, ovviamente, anche per i fotoni e le onde elettromagnetiche che non possono “sfuggire” al campo gravitazionale una volta che abbiano oltrepassato l’orizzonte degli eventi; in questo caso particolare si genera un buco nero, una zona dello spazio in cui il campo gravitazionale è così intenso da non permettere neanche alla luce di allontanarsi dal campo stesso, per cui risulta completamente invisibile ad un osservatore esterno. La spiegazione di natura geometrica e legata alla struttura spaziotemporale dell’Universo può essere fornita, osservando proprio le informazioni che si ottengono dalla metrica di Schwarzschild nella sua espressione delle geodetiche radiali di tipo luce con ds2 = 0 e θ, Φ costanti

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dove dt = ± dr / (1 – 2GM)/r

questa equazione permette di illustrare la pendenza dei coni di luce in un diagramma dello Spaziotempo nel piano r,t come indicato dalla seguente figura

fig-7-onde

Dalla rappresentazione sul piano cartesiano si nota che per valori di r elevati la pendenza è ±1 per cui è come se la luce si muovesse in uno spazio piatto mentre man mano che ci si avvicina a r = 2GM il cono di luce tende a chiudersi e la pendenza tende a infinito; si ha l’impressione che man mano che il cono di luce si avvicini alla distanza r pari a 2GM non riesca mai a raggiungerla; in realtà ciò non è corretto perché l’oggetto che emette il segnale luminoso (o una particella) raggiunge la frontiera ma un osservatore esterno non riuscirà mai a vederlo.

Ciò accade perché il segnale luminoso emesso da un oggetto che si avvicina sempre di più alla frontiera arriverà sempre più lentamente al soggetto osservatore esterno e quindi diventerà invisibile. E’ possibile dimostrare, con opportune variazioni delle coordinate, come si comporta l’oggetto in prossimità del raggio di Schwarzschild. Infatti l’oggetto riesce a passare attraverso il Raggio di Schwarzschild nel modo descritto nella figura 8:

1) il corpo o particella inizia il suo viaggio al tempo t0 dal punto dello spazio rin > rs mentre l’osservatore si trova in r0 > rs. Il corpo emette un segnale luminoso che raggiunge l’osservatore al tempo t1>t0

2) l’oggetto tende ad avvicinarsi alla sorgente del campo gravitazionale. Il segnale luminoso emesso dall’oggetto raggiungerà l’osservatore in un tempo t2 > t1 > t0 e il cono di luce tende a restringersi

3) l’oggetto tende ad avvicinarsi sempre di più al raggio di Schwarzschild in modo tale che il cono di luce tenderà a restringersi sempre di più e in tal modo il segnale luminoso emesso dall’oggetto impiegherà un tempo sempre più elevato per raggiungere l’osservatore

4) all’interno del Raggio di Schwarzschild si verifica una situazione, in termini della metrica spaziotemporale e della struttura dell’Universo, per cui la pendenza del cono di luce diventa infinita in modo tale che un segnale luminoso emesso dall’oggetto impiegherà un tempo infinito (t→∞) per raggiungere l’osservatore, cioè l’osservatore non potrà mai vedere il segnale luminoso emesso. Inoltre all’interno del Raggio di Schwarzschild le direzioni spaziali e temporali sono scambiate

5) infine l’oggetto conclude il suo viaggio nel tempo tmax

Come detto precedentemente, quindi, il raggio di Schwarzschild esprime il raggio al di sotto del quale neppure la luce può allontanarsi dal campo gravitazionale per cui un oggetto per il quale risulta r = 2GM/c2 o detto in altri termini r = 2M con G = c = 1 è un “Buco nero”. Dagli studi realizzati nel corso dei decenni scorsi è stato dimostrato che i buchi neri sono creati nella fase finale di evoluzione di una stella, se la sua massa è sufficientemente grande. In particolare risulta che

– se la stella presenta una massa pari a 1,4 quella del sole (1,4 Mo) allora una volta terminati i processi termonucleari collassa in una stella di neutroni

– se invece presenta una massa superiore al limite di 2,3 Mo allora la contrazione gravitazionale è tale da far collassare la stella in un buco nero

fig-8-onde

SECONDO CASO – CURVATURA INFINITA DELLO SPAZIOTEMPO

In questo secondo caso si verifica una singolarità non eliminabile che corrisponderebbe ad una curvatura infinita dello Spazio-tempo; in questo caso gli invarianti di curvatura sono divergenti e geometricamente la distorsione dello Spazio – tempo viene raffigurata con la struttura a imbuto. La distorsione di corpi che hanno un campo gravitazionale è ovviamente diversa a seconda del tipo di corpo celeste e della sua massa, inferiore per il sole e le nane bianche, maggiore per stelle di neutroni e buchi neri.

fig-9-onde

LE CONFERME SPERIMENTALI DELLA TEORIA DELLA RELATIVITA’ GENERALE

La costruzione teorica, estremamente complessa e fondata su equazioni numerose con diversi parametri di riferimento, in cui la variabile di campo è la metrica dello spaziotempo, impediscono quasi del tutto effetti suscettibili di osservazioni sperimentali (non esiste ancora la possibilità di creare campi gravitazionali di intensità elevata in laboratorio) per cui le conferme possono essere fornite solo con osservazione di fenomeni astronomici; infatti nel 1919 lo studioso britannico Arthur Eddington organizzò una spedizione per studiare l’eclissi di sole del 29 maggio 1919 visibile nelle isole africane di Sao Tome e Principe, dove scattò numerose fotografie del disco solare.

Nonostante le condizioni non fossero del tutto positive Eddington dimostrò che la teoria della Relatività di Einstein era corretta poiché dalle foto risultava che vi erano alcune stelle visibili vicino al disco solare mentre in realtà avrebbero dovuto essere invisibili, per cui la luce emessa dalle stelle veniva deviata dalla gravità solare (effetto scoperto successivamente e indicato col termine di effetto lente gravitazionale).

Per quanto concerne, invece, i campi di applicabilità la Teoria della Relatività generale di Einstein, come dimostrato dalle sue pubblicazioni dell’epoca, riguarda trasformazioni reversibili e trova applicazione a onde e particelle che si muovono nello spazio vuoto; l’importanza della teoria di Einstein fu ben presto riconosciuta, sebbene il limite che gli fu attribuito, successivamente, fu quello di essere una teoria classica, non adattabile agli sviluppi che successivamente ottenne la fisica con la meccanica quantistica, per cui fallirono i tentativi di “fusione” delle due teorie, poiché sembrano sorgere problemi di compatibilità, dato che le due teorie tendono a contraddirsi.

I problemi fondamentali di queste due teorie si verificano quando i fisici cercano di descrivere le interazioni del campo gravitazionale con le particelle subatomiche (così come non è stato ancora possibile individuare una teoria quantistica dei campi con lo spaziotempo curvo). Inoltre difficoltà analoghe si riscontrano quando la teoria viene applicata nell’ambito degli studi sulla cosmologia e sui buchi neri per cui la possibile elaborazione di una teoria unificata rimane uno degli obiettivi della fisica della nostra epoca.

LE ONDE GRAVITAZIONALI

Le onde gravitazionali possono essere definite come una distorsione o deformazione dello spaziotempo che si propaga come un’onda. L’esistenza delle onde gravitazionali fu prevista nella Teoria della Relatività Generale di Einstein (1915), poiché l’equazione di campo di Einstein prevede soluzioni ondulatorie che sono valide anche per le equazioni di Maxwell. In particolare occorre precisare che le onde elettromagnetiche sono generate da un campo elettromagnetico che si propaga nello spazio e sono individuabili con le equazioni di Maxwell mentre le onde gravitazionali si sviluppano nella struttura geometrica dello spazio modificando la distanza tra due  punti dello spaziotempo.

Nel momento in cui si verifica il passaggio di un’onda gravitazionale le distanze tra due punti dello spaziotempo si contraggono e si espandono intorno a valori di riferimento. Tale effetto è estremamente difficile da rilevare poiché gli effetti distorsivi coinvolgono anche gli strumenti stessi della rilevazione. Tra le peculiarità che si possono elencare delle onde gravitazionali è possibile riassumere i seguenti punti:

– l’equazione delle onde gravitazionali è di tipo tensoriale (a 10 componenti)

– la velocità delle onde gravitazionali è pari alla velocità c della luce

– le onde gravitazionali sono di tipo trasversale; ciò si verifica quando le distorsioni dello spazio avvengono perpendicolarmente alla direzione di propagazione

– le onde gravitazionali emesse da un corpo nello spazio dipenderebbero da disomogeneità nella massa dei corpi stessi misurate dal momento di quadrupolo

Lo stesso Einstein, negli anni successivi alla pubblicazione della Teoria della Relatività generale, ipotizzò che fosse molto difficile individuare e registrare le onde gravitazionali poiché la strumentazione disponibile non era tecnicamente sufficiente per poter compiere analisi di questa portata; inoltre si escluse fin dall’inizio la possibilità di “ricreare” onde gravitazionali in laboratorio poiché le onde sarebbero state talmente deboli da poter essere considerate trascurabili. Ma lo sviluppo delle tecnologie moderne ha permesso di effettuare notevoli passi in avanti e così a partire dagli anni ’50 furono individuate diverse fonti possibili di emissione di onde gravitazionali:

– sistemi binari di stelle

– pulsar

– esplosioni di supernove

– buchi neri in fase di collisione

– formazione di galassie

– il Big Bang

In particolare i sistemi binari di stelle, formati da due stelle che ruotano attorno ad un centro comune di massa, dovrebbero generare onde gravitazionali continue; nel caso di sistemi binari l’emissione dovrebbe avere un’intensità pari a h = 10-20 Hz-1/2. Nel caso di stelle di neutroni che formano sistemi binari o dell’esplosione di supernove l’intensità dovrebbe essere più elevata a causa del maggior valore delle masse in gioco nel sistema. Così pure dall’analisi della radiazione cosmica di fondo individuata nel 1964 da Arno Penzias e Robert Wilson è possibile individuare una possibile sorgente di onde gravitazionali.

Nel frattempo, a partire dagli anni ’70, l’ulteriore sviluppo delle tecnologie elettroniche moderne ha permesso di sviluppare sempre nuovi strumenti in grado di migliorare il grado di sensibilità delle registrazioni relative a possibili fenomeni su scala cosmica, attraverso l’impiego di potenti radiotelescopi. In particolare una prima importante scoperta fu realizzata impiegando il radiotelescopio di Arecibo (Porto Rico), nel 1974, quando gli astrofisici Russell Hulse e Joseph Taylor scoprirono la prima pulsar binaria indicata con la sigla PSR B1913+16. In tale occasione i due astrofisici studiarono le caratteristiche peculiari individuate per tale sistema stellare, verificando che era composto da due stelle piccole di cui una aveva un periodo di otto ore (pulsar).

Analizzando la perdita di energia che subiva il sistema nei termini previsti dalla relatività generale giunsero alla prima importante prova della possibile esistenza delle onde gravitazionali (Hulse e Taylor ottennero il premio Nobel nel 1993). Questa importante scoperta convinse la comunità scientifica ad approfondire questo fondamentale ramo della ricerca della fisica sperimentale e di osservazione per cui furono approntati nuovi importanti progetti per la ricerca delle onde gravitazionali.

Tra questi si possono annoverare il progetto LIGO e il progetto EGO-VIRGO. Il progetto Ligo (acronimo di Laser interferometer gravitational – wave observatory osservatorio laser interferometro di onde gravitazionali) fu un progetto ideato, nel 1984, negli Usa dagli astrofisici Kip Thorne (uno dei massimi esperti mondiali di relatività generale) e Rainer Weiss, con il patrocinio del California Intitute of Technology, del Massachussets Institute of Technology e in collaborazione con la National Science Foundation. Dopo alterne vicende, legate alle difficoltà relative all’acquisizione delle risorse finanziarie relative al progetto, considerato abbastanza costoso (circa 365 milioni di $), la costruzione dell’interferometro ebbe inizio, in diverse tappe, negli anni 90 e prevede l’impiego di due osservatori

– l’osservatorio di Livingstone (Louisiana) in cui opera un interferometro di Michelson formato da un tunnel cavo di 4 km in cui vi sono degli specchi sospesi alle estremità. I raggi laser che lo attraversano possono individuare le piccole deformazioni nello spaziotempo dovute alle onde gravitazionali (per le quali la deformazione misurata dovrebbe essere di circa 10-18 m)

– l’osservatorio di Hanford (Richland – Washington) in cui opera un interferometro con caratteristiche simili al precedente ma di dimensioni minori (meno preciso)

Altrettanto importante, e operante in collaborazione col precedente, è il progetto italo-francese Virgo, posto in essere dall’Istituto nazionale di fisica nucleare italiano e il Centre nationale de la recerche scientifique francese, il cui interferometro, situato nel centro operativo di Cascina (Pisa) fu realizzato nel 2003 allo stesso scopo del progetto Ligo. Gli interferometri del progetto Ligo e Virgo cominciarono ad operare tra il 2002 e il 2004, subendo inoltre successivi rimaneggiamenti che ne migliorarono l’efficienza operativa. Il 14 settembre 2015, alle ore 09.51 UTC gli interferometri del progetto Ligo hanno captato un segnale distinto relativo a due buchi neri (con una massa pari a circa 30 volte il sole) che si fondevano fra di loro ad una distanza di circa 1,3 miliardi di anni luce dalla terra. In particolare, in tale occasione, il segnale delle onde gravitazionali registrate dagli interferometri si è sviluppato secondo tre fasi che sono state definite:

– spiraleggiamento

– fusione

– smorzamento

fig-10-onde

Ufficialmente la notizia è stata poi riportata al grande pubblico con la stesura di un articolo pubblicato in data 11 febbraio 2016; con questa importante scoperta, che conferma l’impianto teorico della Relatività generale, secondo gli studiosi, si è aperta una nuova grande pagina nella storia della fisica moderna, che permetterà in futuro di fare luce su molti misteri che ancora avvolgono la struttura dell’Universo e le sue origini.

Giuseppe Badalucco © ASPIS 2016

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RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

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Einstein Die Grundlage der allgemeinen Relativitaets theorie (Teoria della Relatività Generale) 1916

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Fig. 6 fonte Wikipedia

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http://public.virgo-gw.eu

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https://it.wikipedia.org/wiki/Interferometro_VIRGO