Analisi delle misure delle piramidi di Giza in rapporto alla sezione aurea e “π” – Parte II

da | Apr 11, 2016 | Archeologia

ANALISI DELLE MISURE DELLE PIRAMIDI DI GIZA

KHUFU KHAFRA MENKAURA TOTALE
ALTEZZA (m) 146,6 143,5 65,5 355,60
LATO BASE (m) 230,36 215,25 103,4 549,01
AREA BASE (m2) 53.065,7296 46.332,5625 10.691,56 110.089,85
VOLUME (m3) 2.593.145 2.216.241 233.432 5.042.818,62

Tabella 1 – Riepilogo misure delle piramidi di Giza

Occorre precisare che i valori riepilogativi risultanti in tabella si riferiscono ai valori realmente registrati in epoca moderna, sebbene l’analisi si possa ripetere anche con i valori che presumibilmente i manufatti presentavano in epoca originale.

In particolare si suppone che in origine la piramide di Cheope presentasse un lato alla base la cui lunghezza era pari a 231,08 m contro le attuali misure che vengono accreditate nel valore di 230,34 m o 230,36 m (con scarti minimi che non inficiano l’analisi); mentre per quanto riguarda i volumi la piramide di Cheope presenta secondo diverse fonti una stima del volume pari a circa 2.617.034 m3, misura che non corrisponde al valore della formula calcolata nei punti seguenti (formula del volume delle piramidi V = 1/3 l2 h dove in origine l=230,36 m e h=146,729 i valori che si ottengono non sono esattamente uguali, per cui le fonti possono fare riferimento a dati diversi); in tal caso si mantiene l’impostazione epistemologica fondata sui valori desumibili dai calcoli basati sui modelli matematici a cui si applicano i valori disponibili dei lati e delle altezze

1) PERIMETRO DELLE PIRAMIDI E RAPPORTI TRA PERIMETRI

Il perimetro delle piramidi è dato dalla somma della lunghezza dei quattro lati, in base alle formule P = l1+l2+l3+l4 o P = l x 4 se i lati sono perfettamente uguali. Nelle piramidi di Giza vi sono piccole differenze impercettibili nelle lunghezze effettive dei quattro lati, per cui è possibile calcolare una lunghezza media

KHUFU = 230,36 X 4 = 921,44 m

KHAFRA = 215,25 X 4 = 861 m

MENKAURA = 103,4 x 4= 413,6 m

TOTALE PERIMETRI CIRCA m 2.196,04

RAPPORTI PERIMETRALI

KHUFU / KHAFRA = 921,44 / 861 = 1,07019…

KHUFU / MENKAURA = 921,44 / 413,6 = 2,2278…

KHAFRA / MENKAURA = 861 / 413,6 = 2,08172

TOTALE PERIMETRI = 2.196,04 ≅ 1,610506 x Ø15 = 1,610506 x [1/2 + (√5/2)] = 1,610506 x 1,618033915

Dall’analisi dei perimetri si evince che la piramide con il perimetro maggiore è ovviamente Khufu (Cheope), che presenta una lunghezza perimetrale pari a circa il 7% in più rispetto a Khafra (Chefren). Entrambe presentano un perimetro doppio rispetto a Menkaura (Micerino); la somma dei perimetri presenta una “particolarità”; il valore della lunghezza complessiva dei perimetri è pari alla costante Ø elevata alla 15° potenza moltiplicata per la cifra 1,610506 che, a sua volta, si approssima allo stesso valore della costante Ø (1,610506 contro 1,6180339…).

Se la somma dei perimetri fosse pari a metri 2.206 circa (contro 2.196) essa sarebbe stata pari a Ø16 m. Da ciò si deduce che tale valore non può essere considerato del tutto accettabile come approssimazione di un modello matematico costruito appositamente sulla costante phi e la somma dei perimetri, sebbene vi si avvicini in modo notevole.

2) RAPPORTI TRA PERIMETRI E ALTEZZE DELLE TRE PIRAMIDI DI GIZA

KHUFU 921,44 / 146,6 = 6,2854….≅ 2π

KHAFRA 861 / 143,5 = 6

MENKAURA 413,6 / 65,5 = 6,312

I rapporti tra i perimetri alla base e le altezze delle tre piramidi forniscono risultati simili ma non esattamente uguali per le tre costruzioni; per Cheope il rapporto è esattamente pari a 2π mentre per Chefren esso si approssima a 6 e per Micerino a 6,31 che è approssimativamente pari a 2 π ma non può essere considerato esattamente uguale. Da ciò si deduce che tale rapporto per Cheope equivale al rapporto tra circonferenza e raggio di una sfera o cerchio mentre la stessa cosa non può essere considerata tale per le altre due costruzioni.

3) RAPPORTO TRA I LATI ALLA BASE E ALTEZZE

KHUFU = 230,36 / 146,6 ≅ 1/2 π = 1,57135

KHAFRA = 215,25 / 143,5 = 1,5

MENKAURA = 103,4 / 65,5 = 1,5786 ≅ 1/2 π

Allo stesso modo i rapporti diretti tra i lati alla base e le altezze forniscono i valori approssimati di 1/2 π per Cheope (ottima approssimazione) mentre tale approssimazione è scarsa per Micerino e nessuna apparente relazione è presente per Chefren

4) RAPPORTO TRA I LATI ALLA BASE

KHUFU / KHAFRA = 230,36 / 215,25 = 1,07019….

KHUFU / MENKAURA = 230,36 / 103,4 = 2,2278…

KHAFRA / MENKAURA = 215,25 / 103,4 = 2,081….

I rapporti tra i lati alla base non forniscono particolari informazioni senonché Cheope è di poco più grande rispetto a Chefren (7% in più) mentre entrambe hanno i lati all’incirca pari al doppio di Micerino

5) RAPPORTI TRA LE ALTEZZE

KHUFU / KHAFRA = 146,6 / 143,5 = 1,0216…

KHUFU / MENKAURA = 146,6 / 65,5 = 2,238167….

KHAFRA / MENKAURA = 143,5 / 65,5 = 2,19083….

I rapporti tra le altezze delle tre piramidi di Giza non forniscono particolari informazioni; all’incirca Cheope e Chefren presentavano la stessa altezza con una differenza di pochi metri (2,16% circa) oggi ridotta a circa 138 contro 136 mentre entrambe hanno un’altezza doppia rispetto a Micerino (confermate le proporzioni geometriche relative alla lunghezza perimetrale e i lati alla base)

6) PARTICOLARI CONSIDERAZIONI SULL’ ALTEZZA DI KHUFU (CHEOPE)

L’altezza originaria della piramide di Khufu pari a circa m 146,6 si può evincere dal modello

6.378.388 / ( Ø16 2 π2) = 146,462

cioè l’altezza della piramide di Khufu rappresenta il raggio equatoriale terrestre diviso per il prodotto della costante aurea Ø = 1,618… elevata alla 16° potenza per 2 pi greco al quadrato, con un margine di errore dello 0,09558%

L’informazione che si deduce da questo calcolo potrebbe essere considerata come una mera speculazione numerica, ma deve essere attentamente valutata proprio in merito alla presunta conoscenza degli Egizi del π circa duemila anni prima di Archimede

7) PARTICOLARI CONSIDERAZIONI SUL PERIMETRO DI KHUFU (CHEOPE)

La lunghezza perimetrale di Khufu (Cheope) pari a circa 921 m può essere ricavata dal seguente modello

40.076.594 / ( Ø16 2 π2) ≅ 920,247…

Cioè la lunghezza del perimetro di Khufu rappresenta la circonferenza equatoriale terrestre divisa per la costante aurea Ø= 1,6180339… elevata alla 16° potenza moltiplicata per 2 pi greco al quadrato, con un margine di errore rispetto alla lunghezza effettiva della piramide dello 0,1296%. Il modello di calcolo è esattamente uguale a quello utilizzabile nel punto 6, per cui non appare del tutto casuale.

8) RAPPORTI TRA LE AREE BASE

L’area o superficie della base è data dalla formula

A = l x l oppure

A = l2

dove A indica il valore dell’area espressa in m2 e l indica il valore della lunghezza del lato

KHUFU / KHAFRA = 53065,7296 / 46332,5625 = 1,1453…

KHUFU / MENKAURA = 53065,7296 / 10691,56 = 4,9633…

KHAFRA / MENKAURA = 46332,5625 / 10691,56 = 4,3335…

L’analisi dei rapporti tra le aree alla base non fornisce particolari informazioni. Risulta che la superficie alla base di Cheope è di poco più grande rispetto a Chefren (1,14 volte) mentre entrambe sono poco meno di 5 volte più grandi di Micerino. I dati disponibili non permettono di elaborare una particolare sequenza tra tali valori

9) RAPPORTI TRA I VOLUMI DELLE PIRAMIDI

Il volume delle piramidi a base quadrata è dato dalla formula

V = 1/3 l2h

Dove l indica il valore del lato di base e h il valore dell’altezza della piramide

Otteniamo così:

KHUFU = 1/3 230,362 146,6 = 2.593.145,32 m3

KHAFRA = 1/3 215,252 143,5 = 2.216.240,906 m3

MENKAURA = 1/3 103,42 65,5 = 233.432,393 m3

I rapporti tra i volumi risultano pari a:

KHUFU / KHAFRA = 2.593.145,32 / 2.216.240,906 = 1,17

KHUFU / MENKAURA = 2.593.145,32 / 233.432,393 = 11,1

KHAFRA / MENKAURA = 2.216.240,906 / 233.432,393 = 9,494

L’analisi dei rapporti tra i volumi delle piramidi fornisce alcune importanti informazioni; Cheope ha un volume ovviamente di poco più grande rispetto a Chefren (1,17 volte) mentre Cheope presenta esattamente un volume pari a 11 volte Micerino, contro i 9,49 di Chefren. In particolare il valore del rapporto del volume di Cheope e Micerino è pari al valore 11,1 che può essere considerato un arrotondamento del modello

Ø5 = 1,6180339…5 ≅ 11,09

Infatti 11,11/5 = 1,61832072…. ≅ Ø

Per cui non appare del tutto casuale, oltre alla presenza della costante Ø nei casi precedenti, la sua presenza in questo ulteriore rapporto numerico che esprime una proporzione geometrica nei volumi delle stesse.

10) ALCUNE IMPORTANTI CONSIDERAZIONI SULLA PRESENZA DELLA SEZIONE AUREA NELLA PIRAMIDE DI CHEOPE E SULLE SUE CONSEGUENZE

La questione estremamente controversa della presenza della costante matematica Ø = 1,6180339….  nella piramide di Cheope è stata sollevata, ufficialmente, per la prima volta nel 1859 dallo studioso John Taylor che pubblicò un saggio dal titolo: “The Great Pyramid: Why was it built and who built it?”, in cui analizzò le proporzioni geometriche della piramide introducendo tale ipotesi che fu suffragata, successivamente, dall’astronomo Charles Piazzi Smyth. La questione può essere riassunta nei seguenti termini:

Fig. 8 piramidi

LUNGHEZZA LATO CHEOPE                                            m 230,36

LUNGHEZZA PERIMETRO CHEOPE                              m 921,44

ALTEZZA ORIGINARIA CHEOPE (c2)                             m 146,60

LUNGHEZZA SEMILATO CHEOPE      (c1)                      m 115,18

L’ipotenusa del triangolo rettangolo che si può costruire con il semilato di Cheope e l’altezza (i cateti sono rispettivamente 115,18 m e 146,6 m) è data dall’applicazione del teorema di Pitagora (In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti); per cui applicando la formula si ottiene

Formula per il calcolo dell'ipotenusa nel teorema di Pitagora

Formula per il calcolo dell’ipotenusa nel teorema di Pitagora

i = (115,182 + 146,62)1/2 = 186,43

quindi il rapporto tra l’ipotenusa e il semilato è dato da

186,43 / 115,18 = 1,618596….. ≅ Ø

In termini prettamente geometrico – matematici, questa è la dimostrazione che gli Egizi conoscevano la sezione aurea, sebbene gli studiosi facciano notare che tale utilizzo possa essere stato effettuato in modo “inconsapevole” continuando a negarne una validità assoluta. La differenza fondamentale tra tale tipo di dimostrazione e i modelli precedentemente analizzati è legata al fatto che in questo caso vi è un’interpretazione prettamente geometrica, in cui il valore della costante aurea si ottiene da un rapporto diretto tra due lati di un triangolo costruito con le misure originarie della piramide mentre nei modelli precedenti la costante Ø è “nascosta” ad un’immediata interpretazione poiché inserita in calcoli in cui il suo valore è moltiplicato con altre costanti (vedi π) e con elevamenti a potenza che non sono di immediata individuazione.

Tuttavia che tali speculazioni numeriche abbiano un significato logico può apparire evidente se si considera che due cifre che formano costanti matematiche non possono essere inserite casualmente in un dato numerico di un manufatto; se anche la pendenza attribuita alla piramide fosse indispensabile per garantirne la stabilità e questa fosse stata casuale, non altrettanto casuale può essere l’inserimento delle misure della circonferenza terrestre e del raggio con la stessa costante nelle misure del perimetro e dell’altezza piramidale.

A ben guardare proprio le ipotesi introdotte in passato dal Prof. Livio Catullo Stecchini (storico della scienza esperto di misure antiche) secondo cui la piramide di Cheope è una rappresentazione in scala 1:43.200 delle misure della circonferenza equatoriale terrestre e del raggio fondata su codici astronomi precessionali (43.200 è 4.320 x 10 dove 4320 indica due “ere” precessionali di 2.160 anni l’una) possono essere “corrette” a favore di una presenza della costante Ø in tali misure, piuttosto che dei numeri precessionali.

Proprio per giustificare tali misure Stecchini propose di considerare la circonferenza equatoriale in circa 39.814.000 metri che divisi per 43.200 fanno 921,6 m, cioè pari al perimetro di Cheope, ma tale misura presenta un margine di errore dello 0,65% circa che sarebbe dovuta alla mancata considerazione del rigonfiamento equatoriale terrestre. Tale ipotesi perderebbe terreno (anche a livello scientifico) stante l’importanza che ha la sezione aurea come conoscenza scientifica antica (a discapito della numerologia precessionale) se si considera l’ipotesi indicata ai punti 6 e 7 in cui il valore della circonferenza terrestre è inserito nel perimetro di Cheope per mezzo della relazione

Ø16 2 π2 921,44 = 40.141.968 m circa contro 40.076.594 m

con un margine d’errore rispetto alla misura effettiva dello 0,16% (più ridotto rispetto a quello di Stecchini).

11) ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLA PRESENZA DELLA COSTANTE AUREA Ø NELLE PIRAMIDI IN RAPPORTO ALLE SPIRALI AUREE

L’analisi delle misure delle piramidi di Giza ha portato ad una serie di risultati importanti riguardanti la presenza della costante Ø = 1,6180339… in rapporti di misure, costruzioni geometriche e rappresentazioni di misure astronomiche nelle stesse; tuttavia nonostante la presenza di tale costante nelle misure dei tre manufatti non sempre è possibile ravvisare collegamenti diretti di tali valori con modelli che inglobano la sezione aurea; è il caso per esempio della spirale aurea

Equazione della spirale aurea

Equazione della spirale aurea

L’equazione di una spirale aurea è uguale alle altre spirali logaritmiche ma in essa a e b sono numeri reali, e è la base dei logaritmi naturali e Ɵ esprime il valore dell’angolo retto (90°); quando Ɵ assume tale valore b diventa

b = ln Φ / Ɵ da cui si ricava

b = ln 1,6180339…/90

b = 0,0053468…

mentre se misurato in radianti si ottiene

b = ln 1,6180339 / (π/2) = 0,306349

I valori così ottenuti non sono di immediata e diretta percezione e interpretazione in merito ad una possibile relazione diretta con i lati delle piramidi o le relative altezze; tuttavia è possibile verificare, a titolo puramente esemplificativo, che il reciproco del valore di b nell’equazione della spirale aurea è pari a

1/b = 1/0,0053468….= 187,0278…

in cui tale valore in termini prettamente numerici si approssima al valore dell’ipotenusa (186,43) indicata nel modello precedente relativo al calcolo della sezione aurea nelle misure piramidali. Questo dato numerico appare, in questo caso, prettamente derivante dal reciproco del rapporto tra il logaritmo naturale della costante Φ e il valore di Θ (pari a 90°) per cui non sembra vi sia un collegamento diretto con le misure piramidali salvo ipotizzare ulteriori approfondimenti che vanno adeguatamente valutati. Nel limite dell’analisi qui condotta è possibile mettere in luce la ricerca di valori simili a quelli ottenuti nei parametri dell’equazione della spirale aurea, che possono essere ricercati nei rapporti inversi delle misure delle piramidi

ALTEZZA KHUFU /LATO KHUFU = 146,6 / 230,36 = 0,6363…

ALTEZZA KHAFRA / LATO KHAFRA = 143,5 / 215,25 = 0,666…

ALTEZZA MENKAURA / LATO MENKAURA = 65,5 / 103,4 = 0,6334…

I rapporti reciproci di altezza in rapporto al lato base permettono di mettere in luce un valore abbastanza uniforme nelle proporzioni delle tre piramidi.

ALTEZZA KHUFU / LATO KHAFRA = 146,6 / 215,25 = 0,681…

ALTEZZA KHUFU / LATO MENKAURA = 146,6 / 103,4 = 1,4177

ALTEZZA KHAFRA / LATO KHUFU = 143,5 / 230,36 = 0,6229…

ALTEZZA KHAFRA / LATO MENKAURA = 143,5/103,4 = 1,3878

ALTEZZA MENKAURA / LATO KHUFU = 65,5 / 230,36 = 0,28433…

ALTEZZA MENKAURA / LATO KHAFRA = 65,5 / 215,25 = 0,30429…

I rapporti reciproci tra le altezze e i lati delle piramidi “incrociati” mettono in luce dei valori che solo in parte, in alcuni casi, si avvicinano al parametro dell’equazione della spirale aurea; l’unico valore che si avvicina a

b = ln 1,6180339 / (π/2) = 0,306349

è dato dal rapporto tra l’altezza della piramide di Micerino e il lato di Chefren che è pari a 0,30429 contro 0,30634 del parametro b dell’equazione della spirale aurea calcolato quando l’angolo è espresso in radianti; tuttavia per il valore così calcolato non è possibile individuare una relazione certa tra le due cifre; altrettanto si può dire per le altre cifre espressione dei rapporti inversi delle altezze e dei lati delle piramidi. Da ciò si può dedurre che non è possibile ipotizzare in modo immediato un collegamento diretto tra le misure ivi indicate in rapporto a possibili modelli relativi a spirali auree ma, senza dubbio, l’argomento merita ulteriori approfondimenti poiché sono individuabili due valori “sospetti”:

– 1/b = 1/(ln Φ/Θ) = 187,02…≅ 186,43 ipotenusa costruita sul lato della piramide di Cheope con il semilato

– b = ln 1,6180339 / (π/2) = 0,306349 all’incirca pari al rapporto

ALTEZZA MENKAURA / LATO KHAFRA = 65,5 / 215,25 = 0,30429…

In conclusione si può affermare che è possibile ipotizzare con un certo grado di certezza che gli Egizi abbiano potuto rappresentare la sezione aurea (cioè la costante Φ = 1/2 + √5 / 2 = 1,6180339…) nelle misure della piramide di Cheope avendone una conoscenza che si può definire di natura geometrica (conoscevano la geometria piana e solida con ottime approssimazioni delle formule già circa duemila prima di Archimede e Euclide) mentre non si può avere la certezza assoluta che conoscessero in modo diretto l’equazione della spirale aurea, i cui parametri potrebbero essere stati inseriti nelle misure delle piramidi di Giza anche eventualmente in modo indiretto, attraverso l’applicazione di rapporti numerici tra i lati dei manufatti.

APPENDICE STATISTICA

E’ qui di seguito elencato il risultato di una breve analisi statistica dei dati relativi alla lunghezza del lato, dell’altezza, dei perimetri, dell’area e dei volumi delle tre piramidi di Giza

DATI STATISTICI RELATIVI ALLA LUNGHEZZA DEL LATO ALLA BASE

Fig. 11 piramidi

Il lato medio alla base risulta pari a 183,00333 m, esso esprime il valore che assumerebbe il lato delle piramidi se tale lato fosse uguale per tutte e tre le piramidi, mentre il lato mediano, cioè il valore della lunghezza del lato alla base assunto dal primo 50% delle unità statistiche è pari o inferiore a 215,25 m

Fig. 12 piramidi

La media armonica è il reciproco della media aritmetica dei reciproci dei dati, pari a 160,36155 m, essa è in rapporto di 160,36155/183,00333 = 0,876 con la media aritmetica semplice

Fig. 13 piramidi

La media geometrica è la radice n-esima del prodotto dei valori, essa è pari a 172,43427 m, è in rapporto di 0,94 circa con la media aritmetica semplice dei lati

Fig. 14

La media quadratica è radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei lati, essa è pari a 191,56361 m, la media semplice è in rapporto di 0,95 circa con la media quadratica, un rapporto molto prossimo al rapporto tra la media geometrica e la media semplice

Fig. 15 piramidi

La Varianza dei lati delle piramidi è pari a 4.809,59603 m (al quadrato), essendo la somma degli scostamenti dalla media al quadrato diviso n, mentre la deviazione standard (standard deviation, si indica con il simbolo sigma σ) esprime di quanto si discostano, mediamente, i lati rispetto al valore medio degli stessi, essa è pari all’incirca a 69,35 m. E’ interessante notare in questa analisi che il CV, cioè il coefficiente di variazione dato dal rapporto tra deviazione standard e media si approssima a σ/M = 69,35125 / 183,00333 ≈ 0,38 ≈ (1/Ø)2, cioè la variabilità dei lati rispetto alla media si approssima al quadrato del reciproco della costante phi – sezione aurea, anche questo è un dato da valutare attentamente.

DATI STATISTICI RELATIVI ALLE ALTEZZE DELLE PIRAMIDI

Fig. 16 piramidi

L’altezza media delle piramidi è pari a 118,53 m, essa esprime il valore che assumerebbe l’altezza se le tre piramidi avessero la stessa altezza. Il rapporto tra l’altezza media e la lunghezza del lato medio alla base è pari a 0,647 circa mentre il rapporto tra il perimetro medio (183,00333 x 4) e l’altezza media 118,53 è pari a circa 732,01332/118,53 ≅ 6,176≅ 10/Ø cioè il rapporto tra il perimetro medio e l’altezza si approssima al rapporto tra 10 e la costante phi – sezione aurea; l’altezza mediana è pari a 143,5 m; il rapporto tra l’altezza mediana delle piramidi e il lato medio è pari a 143,5 / 183,00333 ≅ 0,785 ≅ √1/Ø cioè è all’incirca pari alla radice quadrata del reciproco della costante phi – sezione aurea

Fig. 17 piramidi

La media armonica delle altezze delle piramidi è pari a 102,645 m ed è in rapporto di 0,64 con la media armonica del lato alla base (160,36)

Fig. 18

La media geometrica dell’altezza è pari a 111,27 m ed è in rapporto di 0,645 con la media geometrica del lato alla base (172,43)

Fig. 19 piramidi

La media quadratica delle altezze è pari a 124,33 m, il rapporto con la media quadratica del lato è pari a 0,649

Fig. 20 piramidi

La varianza dell’altezza delle piramidi è pari a 2111,80 metri (al quadrato) mentre la deviazione standard è pari a 45,95 m, essa indica che le altezze si discostano mediamente dalla media (118,53) di circa 45,95 m. Il rapporto tra la deviazione standard delle altezze e la media (CV, coefficiente di variazione) è pari a 45,95/118,53 ≅ 0,38≅ (1/Ø)2 come nel caso precedente del CV del lato alla base, per cui questa appare come una prerogativa non casuale del rapporto tra deviazione standard e misura dei lati e delle altezze delle piramidi. Occorre tuttavia precisare che il coefficiente di variazione è un rapporto tra valori numerici di un determinato fenomeno (in questo caso altezza come più sopra la lunghezza del lato) per cui tale rapporto può essere considerato come una variazione percentuale che non è detto possa avere un riferimento diretto alla sezione aurea.

CORRELAZIONE LUNGHEZZA LATI – ALTEZZA

Fig. 21 piramidi

La correlazione tra la lunghezza del lato alla base e l’altezza delle piramidi è pari a r=0,997 cioè pari al 99,7% del massimo possibile, essa esprime la relazione lineare esistente tra i valori del lato alla base e l’altezza. Tale relazione lineare è molto forte, quasi massima, ed esprime il dato evidente in base al quale aumentando il lato alla base aumenta l’altezza dell’edificio

DATI STATISTICI RELATIVI ALLE AREE DELLE PIRAMIDI

Fig. 22 piramidi

La media delle superfici (aree) delle piramidi è pari a 36.696,61 m2 ed indica il valore che la superficie assumerebbe se le piramidi fossero di uguale dimensione a base quadrata. La radice quadrata della superficie media pari a 191,56 m non corrisponde alla lunghezza del lato medio che sarebbe pari a 183,0033 m, mentre la superficie mediana è pari a 46332 m2 pari al valore assunto dal primo 50% delle unità statistiche.

Fig. 23 piramidi

La media armonica delle superfici è pari a 22393,94 m2 essa esprime il reciproco della media dei reciproci dei dati, è in rapporto di 22.393,94/36.696,61=0,6102 rispetto alla media, per cui si approssima al valore di 1/Ø sebbene non possa essere considerato come un valore attendibile di tale costante

Fig. 24 piramidi

La media geometrica, che è la radice n-esima del prodotto dei valori delle superfici, è pari a 29733,57 m2; essa è in rapporto pari a 29733,57/36696,61 = 0,81 con la media aritmetica semplice

Fig. 25 piramidi

La media quadratica è pari a 41137,92 m2; essa è di poco superiore alla media aritmetica semplice. La media quadratica è in rapporto alla somma delle superfici (110088) per una valore pari a 41137,92/110088 = 0,373≈0,38 ≈ (1/Ø)2 sebbene non possa essere considerato del tutto come un valore ben approssimato.

Fig. 26 piramidi

La varianza delle superfici è pari a 518.531.141,28 m (valori medio degli scostamenti dalla media al quadrato) mentre la deviazione standard è pari a 22771,27 m2, essa esprime che lo scostamento delle superfici dalla media è pari mediamente a 22771 metri quadrati. Il rapporto tra la deviazione standard σ e la media M è pari a CV = 22771,27/36696,61 ≅ 0,62 ≅ 1/Ø ma poco attendibile come approssimazione (in questo specifico caso)

CORRELAZIONE LATO ALLA BASE – AREE

Fig. 27 piramidi

La correlazione lineare tra i lati e le superfici delle tre piramidi è pari a r=0,99923 ed essa esprime una relazione lineare quasi perfetta

Fig. 28 piramidi

L’analisi di regressione tra la lunghezza dei lati alla base e le superfici permette di scrivere l’equazione della retta di regressione che permette di esprimere l’andamento delle superfici al variare della lunghezza del lato. Si ottiene

y= -23.345,75 + 328,094x

in essa il parametro a (ordinata all’origine) esprime il valore che assumerebbe la superficie nell’ipotesi in cui il valore del lato fosse nullo (ipotesi che non ha valenza reale) mentre il coefficiente di regressione b = 328,094 esprime di quanto aumenta mediamente la superficie nell’ipotesi che il lato aumenti di una unità (di 1 m); per cui se il lato aumenta di 1 m la superficie aumenta di circa 328 m2. Con tale modello è possibile quindi ricostruire il valore che potrebbe assumere un’ipotetica piramide che avesse parametri teorici simili

Esempio

Se x = 230 m

Y= -23.345,75 + 328,094 x 230 = 52.115,87 m2 contro i 53.065,72 m2 della piramide di Cheope

La bontà di adattamento del modello è pari al coefficiente di determinazione delta δ = r2 =0,9984, essa esprime che la percentuale della varianza della superficie spiegata dalla relazione con i lati della piramide è pari al 99,84%, con un residuo non spiegato quasi nullo, pari a 0,16% circa

DATI STATISTICI RELATIVI AI VOLUMI DELLE PIRAMIDI

Fig. 29 piramidi

Il volume medio delle piramidi è pari a 1.680.939 m3, esso indica il volume che avrebbero le piramidi se fossero uguali. Il valore del volume medio delle piramidi è all’incirca pari all’espressione 1.000.000 x e / Ø, dove e indica la costante base dei log naturali (e=2,7182818….) mentre Ø è pari alla costante phi 1/2 + √5 / 2 = 1,6180339….Il valore del volume mediano è pari a 2.216.241 (pari al valore assunto dal primo 50% delle unità statistiche)

Fig. 30 piramidi

La media armonica dei volumi è pari a 585.851,75 m3, essa è in rapporto pari a 585.851,75 / 1.680.939 = 0,348 circa

Fig. 31

La media geometrica è pari a 1.102.896 m3, essa è pari all’incirca al 50% del volume della piramide di Chefren (49,7%)

Fig. 33 piramidi

La media quadratica è pari a 1.974.049,61 m3, in rapporto ad essa la media aritmetica semplice risulta 1.680.939 / 1974.049 = 0,85

Fig. 34

La varianza dei volumi è pari a 1.606.972.266.344,33 (somma degli scostamenti dalla media elevati al quadrato diviso n) mentre la standard deviation è pari a 1.267.664,098 m3; il coefficiente di variazione pari a CV=σ/M = 1.267.664/1.680.939 = 0,7541 implica che la variabilità dei volumi in rapporto alla media è di poco maggiore rispetto alla variabilità delle aree rispetto alla propria media (0,75 contro 0,62); non sono evidenziabili, qui, particolari legami con costante aurea o costante e

Fig. 35 piramidi

La correlazione lineare tra le misure dei lati e dei volumi è pari ad r=0,999197, quasi pari al 100% del massimo possibile

Fig. 36 piramidi

L’equazione della retta di regressione che esprime il legame tra i lati delle piramidi e i volumi è data da

Y= – 1.661.475 + 18.264,229x

dove l’ordinata all’origine a = – 1.661.475 indica il volume che avrebbero le piramidi se il lato fosse nullo, mentre il coefficiente di regressione b=18.264,229 indica di quanto aumenta il volume se il lato aumenta di un metro. La bontà di adattamento del modello è pari quasi al massimo possibile

δ = r2 = 0,999192 = 0,9983

il modello di regressione lineare spiega il 99,83% della varianza dei volumi al variare dei lati delle piramidi, con un residuo non spiegato dalla relazione con i lati pari allo 0,17%.  Ripetendo l’analisi di regressione tra le aree e i volumi si ottiene

Fig. 37 piramidi

Il modello di regressione lineare semplice tra le aree e i volumi delle piramidi genera un’equazione della retta di regressione pari a

y= – 361.939,714 + 55,669x

Essa indica che al variare della superficie di 1 m2 il volume aumenta di circa 55,669 m3

La bontà di adattamento del modello delta δ = 0,9999 è quasi pari al 100%

APPENDICE GEOMETRICA 1: UN METODO ALTERNATIVO DI CALCOLO DELLA SEZIONE AUREA SULLE MISURE DELLA PIRAMIDE DI CHEOPE

Gli studi realizzati nel XIX secolo da John Taylor e Charles Piazzi Smyth sulle misure della piramide di Cheope permisero di individuare la costante phi (sezione aurea) Ø = 1/2 + √5 / 2 = 1,6180339….nel rapporto tra la lunghezza del lato obliquo (ipotenusa) ottenibile dal triangolo rettangolo formato dal semilato con l’altezza (Fig. 8) e la lunghezza del semilato stesso, dato che

LATO CHEOPE 230,36 m

SEMILATO CHEOPE 115,18 m

ALTEZZA 146,6 m

LUNGHEZZA LATO OBLIQUO TRIANGOLO (IPOTENUSA) 186,43 m

IPOTENUSA / SEMILATO = 186,43 / 115,18 = 1,61859…≅ Ø

A questo metodo di calcolo della sezione aurea, cui si giunge indirettamente applicando il teorema di Pitagora, si affianca un altro metodo di calcolo; infatti risulta che

ALTEZZA / SEMILATO = 146,6 / 115,18 = 1,27279… ≅ √Ø = √1,6180339…

La sezione aurea, quindi, si può ricavare indirettamente anche come rapporto tra l’altezza della piramide di Cheope e la misura del semilato, ottenendo in tal modo, approssimativamente, la radice quadrata di phi, cioè √ 1,6180339 ≅ 1,272… che è uguale al rapporto tra altezza e semilato di Cheope. Questo metodo di calcolo integra e conferma il precedente nella rappresentazione della sezione aurea nella piramide di Cheope.

APPENDICE GEOMETRICA 2: IPOTESI DI CALCOLO DELLA SEZIONE AUREA SULLE MISURE DELLA PIRAMIDE DI CHEFREN

Le misure della piramide di Chefren sono:

LUNGHEZZA LATO BASE 215,25 m

ALTEZZA ORIGINARIA 143,5 m

ALTEZZA ATTUALE 136,4 ≅ 137 m

LUNGHEZZA SEMILATO (BASE) 107,625 m

La lunghezza del lato alla base della piramide di Chefren è pari a 215,25 m mentre il semilato è pari a 107,625 m; l’altezza originaria era pari a 143,5 m mentre l’altezza “attuale” è ridotta a 137 m. Sulla base dei dati disponibili, se si considera il valore attuale effettivo dell’altezza della piramide, si ottengono i seguenti risultati, applicando il teorema di Pitagora:

√(107,6252 + 1372) = √11.583,14 + 18.769 = √30.352,14 ≅ 174,21

il lato obliquo del triangolo formato dal semilato con l’altezza è pari a circa 174,21 m (espresso con i dati reali attuali), per cui se rapportiamo il valore del lato obliquo al semilato otteniamo

LUNGHEZZA LATO OBLIQUO/SEMILATO = 174,21 / 107,625 =1,6186….≅ Ø = 1,618…..

Fig. 10 analisi

Da ciò si deduce che, impiegando i valori corretti per le misure moderne della piramide di Chefren, e calcolando il rapporto tra il lato obliquo del triangolo (formato dal semilato con l’altezza) e il semilato stesso, si ottiene molto approssimativamente un valore pari alla costante phi Ø = 1/2 + √5 / 2 = 1,618….

Lo stesso risultato in modo indiretto si ottiene calcolando il rapporto

ALTEZZA / SEMILATO = 137 / 107,625 = 1,272… ≅ √Ø = √1,618…

in cui tale rapporto è approssimativamente pari alla radice quadrata della costante phi Ø = 1,618….cioè il rapporto tra l’altezza della piramide di Chefren e il semilato si approssima alla radice quadrata della costante aurea phi (cioè il metodo di calcolo alternativo indicato nell’appendice geometrica precedente). Questa analisi, parzialmente riferita alla misura attuale dell’altezza della piramide, non fornisce gli stessi risultati se si considera l’altezza originaria pari a circa 143,5 m, per cui può essere considerata una curiosità scientifica; tuttavia porta agli stessi risultati che si ottengono per la piramide di Cheope.

GIUSEPPE BADALUCCO 2016 © ASPIS

BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE

  1. Tompkins, L.C. Stecchini (1971), Secrets of the Great Pyramid, Ed. Edison 1997
  2. Scheneider, A beginner’s guide to constructing the Universe, N. York, Harper Perennial 1995
  3. Hedian, The golden section and the artist su “”The Fibonacci Quarterly”, 1976
  4. Piazzi Smith, The Great Pyramid, N. York Gramercy book, 1978

L’IMMAGINE DELLA PIRAMIDE E’ TRATTA DA

https://it.wikipedia.org/wiki/File:Mathematical_Pyramid.svg (PUBBLICO DOMINIO)

Elaborazioni matematiche e geometriche realizzate da Giuseppe Badalucco (eventuali errori od omissioni sono da attribuire all’autore)

Processore per calcoli statistici tratto da

http://www.calcolatorionline.it/calcolatori-statistici.php