Analisi delle misure delle piramidi di Giza in rapporto alla sezione aurea e “π” – Parte I

da | Mar 2, 2016 | Archeologia

La Sezione Aurea (definita anche Numero di Fidia, dal nome dello scultore greco che l’avrebbe rappresentata per prima nelle sue opere), indicata con la lettera greca phi Ø, esprime in termini geometrici e matematici il rapporto tra le lunghezze di due segmenti non uguali di cui il maggiore rappresenta medio proporzionale tra la somma dei due segmenti e il segmento minore. Infatti se indichiamo due segmenti nel seguente modo

 

Fig. 1 Rappresentazione sezione aurea

Fig. 1 Rappresentazione sezione aurea

Risulta che la lunghezza AB rapportata ad AC deve essere uguale alla lunghezza AC rapportata a CB, cioè risulta

Fig. 2 rapporto aureo in termini geometrici

Fig. 2 rapporto aureo in termini geometrici

Riportando le formule in termini algebrici risulta che indicando AC con a e CB con b si ottiene che

(a+b)/a = a/b

Se poniamo a/b = Ø si ottiene che la precedente espressione diventa

a+b/a = Ø

da cui si ricava che

a/a + b/a = Ø cioè diventa (dato che b/a è il reciproco di a/b)

1+1/Ø = Ø da cui si ottiene moltiplicando ambo i membri per Ø

Ø(1 + 1/ Ø) = Ø2 effettuando il passaggio si ottiene

Ø + Ø · 1/ Ø = Ø2 da cui si ricava semplificando

Ø + 1 = Ø2 e riordinando si ottiene l’equazione

Ø2 – Ø – 1 = 0

Risolvendola si ottiene che

Ø1,2 = -b ± √b2 – 4ac/2a da cui si ottiene

Ø1= 1+√1-4(1)(-1)/2 = (1 + √5)/2 = 1,618033988749………….

mentre Ø2 = -0,6180339……..

Il risultato fornito dalla radice positiva dell’equazione esprime la costante phi che è data dall’espressione

Fig. 3 Il valore della costante aurea phi

Fig. 3 Il valore della costante aurea phi

Essa esprime il valore assunto dalla costante phi in termini algebrici che viene definita anche sezione aurea o numero aureo; il valore della radice negativa -0,6180339….,presa in valore assoluto, esprime la costante indicata anche con il termine sezione argentea. La costante Ø=1,618… ricorre in natura e in manufatti umani che siano stati appositamente elaborati per poterla riprodurre. In natura la sezione aurea ricorre, per esempio, in botanica nella struttura di alcune foglie che si dispongono in modo tale da formare un angolo di 137,5° (corrispondente al rettangolo aureo) garantendo in tal modo una migliore esposizione alla luce solare mentre altri casi riguardano petali di alcuni fiori, la forma delle stelle marine, la forma spiraleggiante dei nautilus, la forma altrettanto spiraleggiante delle galassie.

CENNI STORICI SULLA CONOSCENZA DELLA SEZIONE AUREA NELL’ ANTICHITA’

Argomento tutt’ora fortemente dibattuto in seno alla comunità scientifica è la presunta conoscenza della sezione aurea, la cui scoperta ha seguito, ovviamente, un percorso storico abbastanza dettagliato, da parte degli Antichi, in particolare in epoca anteriore alla civiltà greca; alcuni studiosi, sulla base di studi effettuati nei decenni scorsi, sono giunti alla conclusione che una conoscenza quantomeno di base della costante phi fosse possibile per i Babilonesi e gli Egizi, avendone riscontrato la possibile presenza in alcuni manufatti come steli e bassorilievi (per esempio la “leonessa morente” di Ninive risalente all’incirca al IX – VII sec. a.C). Allo stesso modo secondo Robert Lawlor sarebbe presente in alcune architetture sacre egizie come l’Osireion (monumento funerario del Faraone Seti I, XIX dinastia) oppure nella tomba di Petosiri in un bassorilievo risalente all’incirca al III sec. a.C.; in questo caso tuttavia la presenza della sezione aurea sarebbe già storicamente attestata dalla conoscenza anche da parte dei greci. Infatti la “presunta” formalizzazione del problema della determinazione geometrica della sezione aurea, nei termini della suddivisione di un segmento in ultima e media ragione è contenuta nel XIII libro degli Elementi di Euclide risalente al 300 a.C. Come già è stato più volte rimarcato, il grande e importante ruolo dei greci fu quello di “formalizzare” attraverso l’elaborazione di una scienza scritta, concetti che potevano già essere conosciuti da decine e centinaia di anni, e che si tramandavano, in modo più o meno diretto, di generazione in generazione, tra diversi studiosi anche con scritti che nel frattempo potevano essere andati perduti. In particolare, per la grande importanza che hanno assunto, col trascorrere del tempo, gli studi su grandi manufatti megalitici, sono state fatte importanti ipotesi sulla presenza della sezione aurea anche nelle piramidi di Giza, cui accenniamo più oltre in modo specifico.

LA SEZIONE AUREA E GLI STUDI DI FIBONACCI

La formalizzazione della sezione aurea da parte di Euclide rappresentò il più alto livello raggiunto, in merito agli studi sulla costante phi, da parte del mondo occidentale, che non ebbe, in tal senso, ulteriori progressi fino allo sviluppo degli studi di Fibonacci all’inizio del ‘200. Nel 1202 Fibonacci pubblicò il suo testo Liber Abaci, in cui introdusse le cifre indo-arabe e rappresentò in termini algebrici la sezione aurea, anche attraverso l’approssimazione di una successione ricorsiva, cioè una successione di cifre numeriche, in cui ogni termine è la somma dei due precedenti. Partendo dalla cifra numerica 0 e 1 ottenne la successione

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987…………….

In cui ogni termine è dato dall’espressione

Fig. 4 Formula successione di Fibonacci

Fig. 4 Formula successione di Fibonacci

Per cui partendo dal primo otteniamo

0/1 = 0

1/1= 1

1/2= 0,5

2/3= 0,666….

3/5= 0,6

5/8= 0,625

8/13=0,61538…..

13/21= 0,6190476…

21/34=0,61764….

34/55=0,6181818…..

55/89=0,617977…

Lo stesso Fibonacci non riuscì a formalizzare la relazione esistente tra la sezione aurea e la successione ricorsiva da lui individuata mentre all’inizio del ‘500 (1509) l’argomento fu ripreso da Frate Luca Pacioli che pubblicò il celebre testo De divina proportione in cui trattava l’argomento indicando la sezione aurea con il termine di “proporzione divina” (a cui collaborò anche Leonardo da Vinci con l’elaborazione di disegni di solidi platonici). La dimostrazione vera e propria della relazione tra la sezione aurea e la successione di Fibonacci fu poi fornita da Keplero nel 1611 e formalizzata dal matematico Binet circa un secolo più tardi con la formula che da lui prende nome

Fig. 5 Formula di Binet

Fig. 5 Formula di Binet

Con l’introduzione del calcolo infinitesimale è stato poi dimostrato che l’approssimazione della costante aurea phi Ø è data dal limite del rapporto tra i termini successivi della successione per n che tende all’infinito

Fig. 6 La costante phi come limite della successione di Fibonacci per n che tende all'infinito

Fig. 6 La costante phi come limite della successione di Fibonacci per n che tende all’infinito

Infatti se consideriamo che la successione di Fibonacci è data da

Fig. 7

Fig. 7

Questa può essere riscritta come

Fn+1/Fn = Fn + Fn-1/Fn da cui si ottiene ponendo Fn+1/Fn= Ø

Ø= 1+ Fn-1/Fn

dove risulta che Fn-1/Fn è il risultato del reciproco di Fn+1/Fn per cui risulta che

Ø= 1+ 1/Ø

che diventa l’equazione della sezione aurea

Ø2 – Ø – 1 = 0

Gli studi realizzati in epoca moderna hanno poi messo in luce importanti proprietà matematiche della sezione aurea, anche con l’ausilio delle moderne tecnologie computerizzate che hanno permesso di sveltire notevolmente i calcoli e la realizzazione di modelli matematici esplicativi. Questo breve excursus ci permette di introdurre alcune considerazioni in merito alla presunta presenza della sezione aurea nelle più importanti ed enigmatiche strutture megalitiche dell’antica civiltà egizia, le piramidi di Giza.